Teoria Grup

Zadanie

Wypisac wszystkie element grupy ilorazowej $\Phi(15)/\{1,4\}$ oraz utworzyc w niej tabelke działania.

Odpowiedź:

Wiedząc że $\Phi(n):=\{a\in \mathbb{N}~:~NWD(a,n),~a< n\}$ wypisz wszystkie elementy grupy $\Phi(15)$ w porządku rosnącym

$\Phi(15)=${ 1,,,,,,}
Zatwierdź

Podpowiedź

Ponieważ, elementami grupy $\Phi(15)$ są liczby mniejsze od 15 oraz względnie pierwsze z 15. Dlatego wybierz spośród liczb $\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14\}$ liczby względnie pierwsze z 15.

Dobrze, poniżej przedstawiliśmy reprezentantów odpowiednich warstw, uzupełni wolne miejsca odpowiednimi elementami w odpowiednich warstwach.

$W_1=1\underset{15}{\cdot}\{1,4\} = 4\underset{15}{\cdot}\{1,4\}=\{$ , $\}$
$W_2=2\underset{15}{\cdot}\{1,4\} = 8\underset{15}{\cdot}\{1,4\}=\{$ , $\}$
$W_3=7\underset{15}{\cdot}\{1,4\} = 13\underset{15}{\cdot}\{1,4\}=\{$ , $\}$
$W_4=11\underset{15}{\cdot}\{1,4\} = 14\underset{15}{\cdot}\{1,4\}=\{$ , $\}$
Zatwierdź

Podpowiedź

Tworząc warstwy przemnażamy każdy element podgrupy przez reprezentanta, dlatego wybierz jednego z reprezentantów dla każdej warstwy i przemnóż każdy element podgrupy modulo 15.

Uzupełnij tabelkę wpisując w odpowiednie miejsce w tabelce numery warstw (same liczby bez W).


$W_1$$W_2$$W_3$$W_4$
$W_1$
$W_2$
$W_3$
$W_4$

Zatwierdź

Podpowiedź

Przemnóż odpowiednich reprezentantów modulo 15 i sprawdź do której warstwy należy wynik.