Teoria Grup

Przykład

Zilustruj drugie twierdzenie o izomorfizmie dla $G=\mathbb{Z}$, $H=10\mathbb{Z}$ i $K=6\mathbb{Z}$.

Odpowiedź:

Zauważmy, że $K\cap H =$ $\mathbb{Z}$.

Podpowiedź

Skorzystaj z tego, że elementy które należą do przekroju są podzielne przez najmniejszą wspólną wielokrotność liczb 6 i 10.

Zauważmy, że $K\cap H =30\mathbb{Z}$. Nieco trudniejsze jest przekonanie się dla jakiego $n\in\mathbb{N}$ mamy $H+K=n\mathbb{Z}$. Przypomnijmy, że $n$ jest zawsze najmniejszą liczba naturalną dodatnią w zbiorze $n\mathbb{Z}$. Zastanówmy się zatem jaką najmniejszą liczbę dodatnią można otrzymać dodając element ze zbioru $10\mathbb{Z}$ element ze zbioru $6\mathbb{Z}$. Z pewnością będzie to liczba .

Podpowiedź

Najmniejsza wspólna wielokrotność dwóch liczb parzystych jest liczbą ...

Zauważmy, że $K\cap H =30\mathbb{Z}$. Nieco trudniejsze jest przekonanie się dla jakiego $n\in\mathbb{N}$ mamy $H+K=n\mathbb{Z}$. Przypomnijmy, że $n$ jest zawsze najmniejszą liczba naturalną dodatnią w zbiorze $n\mathbb{Z}$. Zastanówmy się zatem jaką najmniejszą liczbę dodatnią można otrzymać dodając element ze zbioru $10\mathbb{Z}$ do elementu ze zbioru $6\mathbb{Z}$. Z pewnością będzie to liczba parzysta.

Zatem najmniejszą taką liczbą będzie . W związku z tym $H+K = 2\mathbb{Z}$, czyli korzystając z II twierdzenia o izomorfizmie otrzymujemy, że

$H/(H\cap K)\cong (K+H)/ K\Leftrightarrow~$ $~\mathbb{Z} ~/ ~$$~\mathbb{Z}\cong~$ $~\mathbb{Z}~/~$$~\mathbb{Z}.$

Podpowiedź

Na przykład do jednego ze zbiorów należy $-10$ a do drugiego $12$, dlatego najmniejszą liczbą w sumie podgrup będzie 2. Natomiast jednak twierdzenie podstaw odpowiednie podgrupy a następnie wpisz $2$ i $6$.

Zauważmy, że $K\cap H =30\mathbb{Z}$. Nieco trudniejsze jest przekonanie się dla jakiego $n\in\mathbb{N}$ mamy $H+K=n\mathbb{Z}$. Przypomnijmy, że $n$ jest zawsze najmniejszą liczba naturalną dodatnią w zbiorze $n\mathbb{Z}$. Zastanówmy się zatem jaką najmniejszą liczbę dodatnią można otrzymać dodając element ze zbioru $10\mathbb{Z}$ element ze zbioru $6\mathbb{Z}$. Z pewnością będzie to liczba parzysta

Zatem najmniejszą taką liczbą będzie $2$. W związku z tym $H+K = 2\mathbb{Z}$, czyli korzystając z II twierdzenia o izomorfizmie otrzymujemy, że \[ H~/~ (H\cap K)\cong (K+H)~/~ K\Leftrightarrow10\mathbb{Z}~/~ 30\mathbb{Z}\cong 2\mathbb{Z}~/~6\mathbb{Z}.\] Z poprzednich zadań wiemy, że $10\mathbb{Z}~/~ 30\mathbb{Z}$ ma tylko $3$ elementy a zatem jest grupą izomorficzną z $\mathbb{Z}_3$. Stąd \[ 2\mathbb{Z}~/~ 6\mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}_3, \] co również można łatwo zaobserwować stosując I twierdzenie o izomorfizmie dla funkcji $f:2\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}_3$ określonej wzorem $f(x)=(x)_3$, gdzie $(x)_3$ oznacza resztę z dzielenia liczby $x$ przez $3$.