Teoria Grup

Przykład

Udowodnij, że grupa $\mathbb{R}^3$ z dodawaniem po współrzędnych jest sumą prostą swoich podgrup: $H_1 = \{(t,0,0):t\in\mathbb{R}\}$, $H_2 = \{(t,t,0):t\in\mathbb{R}\}$, $H_3 = \{(t,t,t):t\in\mathbb{R}\}$.

Odpowiedź:

Stosując twierdzenia o sumie prostej w pierwszej kolejności musimy pokazać, że każdy wektor $(x,y,z)\in\mathbb{R}^3$ da się zapisać jako

sumę elementów z podgrup $H_1,H_2,H_3$
sumę elementów z przekroju grup $H_1,H_2,H_3$
iloczyn elementów z podgrup $H_1,H_2,H_3$

Podpowiedź

Pamiętaj, że działaniem w tej grupie jest dodawanie, a elementy z podgrup $H_1,H_2,H_3$ generują całą grupę.

Stosując twierdzenia o sumie prostej w pierwszej kolejności musimy pokazać, że każdy wektor $(x,y,z)\in\mathbb{R}^3$ da się zapisać jako sumę elementu z $H_1$, $H_2$ i $H_3$. W istocie tak jest, ponieważ zachodzi wzór

$(x,y,z) = (x-y,0,0)+( y-z,y-z,0)+(z,z,z)$
$(x,y,z) = (x-y,0,0)+( y-z,y,0)+(z,z,z)$
$(x,y,z) = (x-y,0,0)+( y-z,y-z,0)+(x,y,z)$

Podpowiedź

Sprawdź która równość jest prawdziwa.

Stosując twierdzenia o sumie prostej w pierwszej kolejności musimy pokazać, że każdy wektor $(x,y,z)\in\mathbb{R}^3$ da się zapisać jako sumę elementu z $H_1$, $H_2$ i $H_3$. W istocie tak jest, ponieważ zachodzi wzór $(x,y,z) = (x-y,0,0)+( y-z,y-z,0)+(z,z,z)$.

W drugiej kolejności musimy pokazać, że prawdziwy jest punkt 2 w Twierdzeniu


Twierdzenie

Grupa $G$ jest sumą prostą swoich podgrup $H_1,\ldots H_n$ wtedy i tylko wtedy, gdy

  1. dla dowolnego $g\in G$ zachodzi $h_1\ast\ldots\ast h_n$ dla pewnych $h_j\in H_j$;
  2. dla dowolnego $2\leq k\leq n$ mamy $H_k\cap (H_1\ast\ldots\ast H_{k-1})=\{e\}$, gdzie $H_1\ast\ldots\ast H_{k-1}=\{h_1\ast\ldots\ast h_{k-1}:h_j\in H_j\}$.

Zauważmy, że naszym przypadku $n=$, a zatem musimy pokazać ten punkt dla $k=$ i $k=$.

Podpowiedź

Należy pamiętać, że $n$ to liczba podgrup a $k$ jest zbiorem liczb całkowitych z przedziału od $2$ do $n$.

Stosując twierdzenia o sumie prostej w pierwszej kolejności musimy pokazać, że każdy wektor $(x,y,z)\in\mathbb{R}^3$ da się zapisać jako sumę elementu z $H_1$, $H_2$ i $H_3$. W istocie tak jest, ponieważ zachodzi wzór $(x,y,z) = (x-y,0,0)+( y-z,y-z,0)+(z,z,z)$.

W drugiej kolejności musimy pokazać, że prawdziwy jest punkt 2 w Twierdzeniu o sumie prostej. Zauważmy, że w naszym przypadku $n= 3$, a zatem musimy pokazać ten punkt dla $k= 2$ i $k = 3$.

W przypadku, gdy $k=2$ musimy pokazać, że $H_2\cap H_1=\{($,,$)\}$, co wynika bezpośrednio z określenia zbiorów $H_1$ i $H_2$. Mianowicie, jeżeli jakiś wektor $(x,y,z)\in H_1$, to $y=z=$, natomiast jeśli dodatkowo należy do $H_2$, to $x=y$, czyli $(x,y,z)=($$,$$,$$)$.

Podpowiedź

Zera są dla nas najważniejszymi elementami :) Wektor $(0,0,0)$ jest elementem neutralnym naszej grupy.

Stosując twierdzenia o sumie prostej w pierwszej kolejności musimy pokazać, że każdy wektor $(x,y,z)\in\mathbb{R}^3$ da się zapisać jako sumę elementu z $H_1$, $H_2$ i $H_3$. W istocie tak jest, ponieważ zachodzi wzór $(x,y,z) = (x-y,0,0)+( y-z,y-z,0)+(z,z,z)$.

W drugiej kolejności musimy pokazać, że prawdziwy jest punkt 2 w Twierdzeniu o sumie prostej. Zauważmy, że w naszym przypadku $n= 3$, a zatem musimy pokazać ten punkt dla $k= 2$ i $k = 3$.

W przypadku, gdy $k=2$ musimy pokazać, że $H_2\cap H_1=\{0\}$, co wynika bezpośrednio z określenia zbiorów $H_1$ i $H_2$. Mianowicie, jeżeli jakiś wektor $(x,y,z)\in H_1$, to $y=z=0$, natomiast jeśli dodatkowo należy do $H_2$, to $x=y$, czyli $(x,y,z)=(0,0,0)$.

W przypadku, gdy $k=3$ musimy pokazać, że $H_3\cap (H_1+H_2)=\{(0,0,0\}$. W pierszej kolejności zauważmy, że elementami zbioru $H_1+H_2$ są wszystkie wektory $(x,y,z)$ takie, że $x=$ $y=$ $z=$. W związku z tym jeśli jakiś wektor $(x,y,z)$ należy do $(H_1+H_2)$, to $z=$, a jeśli należy do $H_3$, to $x=y=z$, czyli $(x,y,z)=(0,0,0)$.

Podpowiedź

Zauważ, że dzięki elementom z pierwszych dwóch podgrup możesz wygenerować każdy element postaci $(x,y,0)\in \mathbb{R}$.

Stosując twierdzenia o sumie prostej w pierwszej kolejności musimy pokazać, że każdy wektor $(x,y,z)\in\mathbb{R}^3$ da się zapisać jako sumę elementu z $H_1$, $H_2$ i $H_3$. W istocie tak jest, ponieważ zachodzi wzór $(x,y,z) = (x-y,0,0)+( y-z,y-z,0)+(z,z,z)$.

W drugiej kolejności musimy pokazać, że prawdziwy jest punkt 2 w Twierdzeniu o sumie prostej. Zauważmy, że w naszym przypadku $n= 3$, a zatem musimy pokazać ten punkt dla $k= 2$ i $k = 3$.

W przypadku, gdy $k=2$ musimy pokazać, że $H_2\cap H_1=\{0\}$, co wynika bezpośrednio z określenia zbiorów $H_1$ i $H_2$. Mianowicie, jeżeli jakiś wektor $(x,y,z)\in H_1$, to $y=z=0$, natomiast jeśli dodatkowo należy do $H_2$, to $x=y$, czyli $(x,y,z)=(0,0,0)$.

W przypadku, gdy $k=3$ musimy pokazać, że $H_3\cap (H_1+H_2)=\{(0,0,0_\}$. W pierszej kolejności zauważmy, że elementami zbioru $H_1+H_2$ są wszystkie wektory $(x,y,z)$ takie, że $z=0$, $y=$ dowolne, $x=$ dowolne, wektor $(x,y,z)$ należy do $(H_1+H_2)$, to $z=0$, a jeśli należy do $H_3$, to $x=y=z$, czyli $(x,y,z)=(0,0,0)$.