Teoria Grup

Przykład

Pokaż, że $\mathbb{C}^\times = \mathbb{R}_+\oplus \mathbf{S}^1$, gdzie występują tu grupy są ze zwykłym mnożeniem zespolonym.

Odpowiedź:

Na mocy twierdzenia o sumie prostej musimy pokazać, że $\mathbb{R}_+\cap \mathbf{S}^1 =$

jest zbiorem pustym
jest zbiorem skłądającym się z jednego elementu $\{0\}$
jest zbiorem skłądającym się z jednego elementu $\{1\}$

Twierdzenie

Grupa $G$ jest sumą prostą swoich podgrup $H_1,\ldots H_n$ wtedy i tylko wtedy, gdy

  1. dla dowolnego $g\in G$ zachodzi $h_1\ast\ldots\ast h_n$ dla pewnych $h_j\in H_j$;
  2. dla dowolnego $2\leq k\leq n$ mamy $H_k\cap (H_1\ast\ldots\ast H_{k-1})=\{e\}$, gdzie $H_1\ast\ldots\ast H_{k-1}=\{h_1\ast\ldots\ast h_{k-1}:h_j\in H_j\}$.

Zastanów się jaka liczba rzeczywista dodatnia posiada moduł równy jeden.

Na mocy ostatniego twierdzenia o sumie prostej musimy pokazać, że $\mathbb{R}_+\cap \mathbf{S}^1 =\{1\}$ oraz, że każda liczba zespolona $z\in\mathbb{C}^\times$ jest iloczynem

dwóch liczb zespolonych
liczby zespolonej o module równym $1$ oraz liczby rzeczywistej
liczby zespolonej o module równym $1$ oraz liczbie rzeczywistej dodatniej
liczby zespolonej o module równym $1$ oraz liczbie rzeczywistej nieujemnej

Podpowiedź

Pamiętaj, że jedna z liczb musi być ze zbioru $\mathbb{R}$ a druga z $\mathbf{S}^1$.

Na mocy ostatniego twierdzenia o sumie prostej musimy pokazać, że $\mathbb{R}_+\cap \mathbf{S}^1 =\{1\}$ oraz, że każda liczba zespolona $z\in\mathbb{C}^\times$ jest iloczynem pewnej liczby rzeczywistej dodatniej i liczby zespolonej o module równym $1$.

Pierwsza część wynika z tego, że

część wspólna liczb rzeczywistych i liczb zespolonych o module równym 1 składa się z jednego elementu $\{1\}$
część wspólna dodatnich liczb rzeczywistych i liczb zespolonych o module równym 1 składa się z jednego elementu $\{1\}$
ponieważ te dwa zbiory nie mają części wspólnej

Podpowiedź

Co zostało sprawdzone wcześniej?

Na mocy ostatniego twierdzenia o sumie prostej musimy pokazać, że $\mathbb{R}_+\cap \mathbf{S}^1 =\{1\}$ oraz, że każda liczba zespolona $z\in\mathbb{C}^\times$ jest iloczynem pewnej liczby rzeczywistej dodatniej i liczby zespolonej o module równym $1$.

Pierwsza część jest prawdziwa ponieważ jedyną liczbą rzeczywistą dodatnią mającą moduł równy $1$, czyli należącą do $\mathbf{S}^1$ jest liczba $1$.

Druga część wynika z faktu, że każdą liczbę zespoloną, różną od $0$, można przedstawić w postaci

algebraicznej
geometrycznej
trygonometrycznej
biegunowej

Podpowiedź

Która z postaci liczby zespolonej pozwala nam zapisać tą liczbę za pomocą nieujemnej liczby zespolonej oraz punktu na okręgu jednostkowym?

Na mocy ostatniego twierdzenia o sumie prostej musimy pokazać, że $\mathbb{R}_+\cap \mathbf{S}^1 =\{1\}$ oraz, że każda liczba zespolona $z\in\mathbb{C}^\times$ jest iloczynem pewnej liczby rzeczywistej dodatniej i liczby zespolonej o module równym $1$.

Pierwsza część jest prawdziwa ponieważ jedyną liczbą rzeczywistą dodatnią mającą moduł równy $1$, czyli należącą do $\mathbf{S}^1$ jest liczba $1$.

Druga część wynika z faktu, że każdą liczbę zespoloną, różną od $0$, można przedstawić w postaci trygonometrycznej, czyli $z=|z|(\cos\varphi+i\sin\varphi)$, gdzie $|z|\in\text{\color{red}pole wyboru}$ i $\cos\varphi+i\sin\varphi\in\mathbf{S}^1$. Równoważnie można skorzystać z faktu, że $z=|z|\frac{z}{|z|}$, gdzie $\left|\frac{z}{|z|}\right| = \frac{|z|}{|z|} = 1$, czyli $\frac{z}{|z|}\in\mathbf{S}^1$.