Teoria Grup

Przykład

Korzystając z I twierdzenia o izomorfizmie udowodnić, że $\mathbb{C}^\times/\mathbf{S}^1\cong\mathbb{R}_+$, gdzie $\mathbb{C}^\times:=\mathbb{C}\setminus\{0\}$, $\mathbf{S}^1:=\{z\in\mathbb{C}:|z|=1\}$, $\mathbb{R}_+:=(0,+\infty)$ są grupami ze zwykłym mnożeniem.

Odpowiedź:

Naszym zadaniem jest znalezienie funkcji $f:\mathbb{C}^\times \to \mathbb{R}_+$, która będzie homomorfizmem takim, że $\ker f = \mathbf{S}^1$ oraz $\operatorname{im} f = \mathbb{R}_+$. Wówczas z I twierdzenie o izomorfizmie wynika, że $\mathbb{C}^\times/\ker f\cong \operatorname{im} f$, co oznacza, że $\mathbb{C}^\times/\mathbf{S}^1\cong\mathbb{R}_+$.

W tym celu rozważmy funkcję (wybierz odpowiednią)


$f(z)=|z|$,
$f(z)=\overline{z}$,
$f(z)=\operatorname{Re}z$

Podpowiedź

Niestety to nie jest dobry wybór, w wyniku działania funkcji $f$ musimy dostać liczbę rzeczywistą dodatnią a przy tej funkcji możemy dostać liczbę zespoloną np. $f(i)=-i$.

Podpowiedź

Niestety to nie jest dobry wybór, w wyniku działania funkcji $f$ musimy dostać liczbę rzeczywistą dodatnią a przy tej funkcji możemy dostać liczbę ujemną np. $f(-2)=-2$.

W tym celu rozważmy funkcję $f(z)=|z|$. W pierwszej kolejności pokażemy, że jest ona homomorfizmem grup. Weźmy dowolne elementy

$z_1,z_2\in \mathbb{C}$,
$z_1,z_2 \in \mathbb{C}^\times$,
$z_1,z_2\in \mathbb{R}_+$

Podpowiedź

Niestety twój wybór jest błędny, liczby $z_1,z_2$ nie mogą być zerami, dlatego nie mogą należeć do $\mathbb{C}$.

Podpowiedź

Niestety to nie jest dobry wybór, wliczby $z_1,z_2$ są niezerowymi liczbami zespolonymi dlatego w zbior $\mathbb{R}_+$ nie zawiera wszystkich elementów.

W tym celu rozważmy funkcję $f(z)=|z|$. W pierwszej kolejności pokażemy, że jest ona homomorfizmem grup. Weźmy dowolne elementy $z_1,z_2\in\mathbb{C}^\times$. Wówczas $f(z_1 z_2) = |z_1 z_2| = |z_1||z_2| = f(z_1)f(z_2)$, a zatem $f$ jest homomorfizmem.

Jądro tego homomorfizmu zawiera elementy których norma jest równa

$|z|=1$,
$|z|=0$,

Podpowiedź

Funkcja $f$ działa w zbiór liczb rzeczywistych dodatnich, a w tym zbiorze elementem neutralnym jest 1 a nie 0.

Jądro tego homomorfizmu jest postaci $\ker f = \{z\in\mathbb{C}^\times:f(z) = |z| = 1 = \mathbf{S}^1\}$.

Ponadto zauważmy, że każda liczba rzeczywista dodatnia jest wartością tej funkcji. Mianowicie wystarczy zauważyć, że dla dowolnie wybranej liczby $x\in\mathbb{R}_+$, aby $f(z)=x$ wystarczy wziąć $z=x$.