Podzielność w pierścieniu wielomianów

Przykład

Wykonaj dzielenie wielomianu $2X^5+X^4+2X^2+X+4$ przez $3X^3+x+2$ w pierścieniu $\mathbb{Z}_5[X]$.

Odpowiedź:

W pierwszej kolejności zaznaczmy, że wszystkie operacje na współczynnikach są w pierścieniu $\mathbb{Z}_5$, a zatem mamy tu do czynienia z dodawaniem i mnożeniem modulo $5$.

W pierwszym kroku obliczmy następujące wyrażenie $\frac{2X^5}{3X^3}$. Obliczając to wyrażenie dostajemy $\frac{2}{3}X^2$, jednakże współczynniki należą do pierścienia $\mathbb{Z}_5$ dlatego musimy zamienić ułamek na liczbę ze zbioru $\{0,1,2,3,4\}$. W celu znalezienia odpowiedniego elementu najłatwiej jest rozwiązać następujące równanie $2=3t$ w zbiorze liczb modulo $5$, wystarczy zauważyć, że mnożąc $3\cdot 4$ dostajemy $2$. Stąd mamy $4X^2$.

Będzie to zatem wyraz o najwyższej potędze wchodzący w skład wielomianu $q$. Mnożymy następnie cały wielomian $f$ przez $4X^2$ o wynik odejmujemy od wielomianu $g$. Operacje te prezentują się następująco:

$4X^2$
  $2X^5+$$X^4+$$+2X^2+$$X+$$4$: $3X^2+X+2$
$-(2X^5+$$+4X^3$$+3X^2)$
==$X^4+$$X^3+$$4X^2+$$X+$4

Następnie w celu obliczenia kolejnego wyrazu wielomianu $q$ stosujemy powyższą metodę patrząc na $X^4$ i $3X^3$. Otrzymamy wówczas dalsze obliczenia postaci:

$4X^2+2X$
  $2X^5+$$X^4+$$+2X^2+$$X+$$4$: $3X^2+X+2$
$-(2X^5+$$+4X^3$$+3X^2)$
==  $X^4+$$X^3+$$4X^2+$$X+$4
$-(X^4+$$+2X^2$$+4X)$
==$X^3$$+2X^2$$+2X$$+2$

Następnie kontynuujemy tę procedurę aż do momentu, gdy wielomian w ostatnim rzędzie będzie stopnia mniejszego niż stopień dzielnika. Zatem kompletny ciąg obliczeń będzie wyglądał następująco:

$4X^2+2X+2$
  $2X^5+$$X^4+$$+2X^2+$$X+$$4$: $3X^2+X+2$
$-(2X^5+$$+4X^3$$+3X^2)$
==  $X^4+$$X^3+$$4X^2+$$X+$4
$-(X^4+$$+2X^2$$+4X)$
==$X^3$$+2X^2$$+2X$$+4$
$-(X^3+$$+2X$$+4)$
==$2X^2$

Po wykonaniu tych obliczeń wielomian $q$, czyli iloraz występuje w pierwszym wierszu, natomiast reszta $r$ w ostatnim. Otrzymujemy zatem równość \[ 2X^5+X^4+2X^2+X+4 = (3X^3+X+2)(4X^2+2X+2) + 2X^2. \]