Kryteria Nierozkładalności Wielomianów

Przykład

Pokaż, że dla dowolnej liczby pierwszej $p$ wielomian $f(X)=X^{p-1}+X^{p-2}+\ldots+X+1$ jest nierozkładalny w $\mathbb{Z}[X]$.

Odpowiedź:

Zauważmy, że nie można tutaj zastosować bezpośrednio kryterium Eisensteina, ponieważ wszystkie współczynniki są równe $1$. Skorzystamy zatem z następującej prostej obserwacji.

Spróbujmy zatem dobrać taką liczbę całkowitą $a$, aby dla wielomianu $f(X+a)$ można było zastosować kryterium Eisensteina. Pomocna w tym będzie równość $f(X)=\frac{X^p-1}{X-1}$.

Weźmy $a=1$. Wówczas \[ f(X+1) = \frac{(X+1)^p-1}{X}. \]

Rozpisując teraz $(X+1)^p$ za pomocą dwumianu Newtona otrzymujemy \[ f(X+1) = \frac{\left(\sum_{k=0}^p\binom{p}{k}X^k\right)-1}{X} = \frac{\sum_{k=1}^p\binom{p}{k}X^k}{X} = \sum_{k=1}^p\binom{p}{k}X^{k-1}. \]

Zauważmy teraz, że $p|\binom{p}{k}$ dla wszystkich $k=1,2,\ldots,p-1$, ale $p\nmid \binom{p}{p}$ oraz $p^2\nmid\binom{p}{1}=p$. Zatem na mocy kryterium Eisensteina wielomian $f(X+1)$ nie jest rozkładalny, a zatem $f$ jest wielomianem nierozkładalnym.

Dobrze

Źle

Zauważ, że 2 dzieli wyraz przy najwyższej potędze, a 6 nie jest liczbą pierwszą.