Kryteria Nierozkładalności Wielomianów

Przykład

Udowodnij, że wielomian $3X^5+X^4+11X^3+5X^2-2X-1$ jest nierozkładalny w $\mathbb{Z}[X]$.

Odpowiedź:

Rozważmy odwzorowanie $\sigma:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}_2$ określone wzorem $\sigma(n) = n\bmod 2$. Oczywiście tak określone odwzorowanie jest homomorfizmem, a zatem na mocy kryterium porównawczego wystarczy pokazać, że wielomian $f^\sigma=X^5+X^4+X^3+X^2+1$ jest nierozkładalny w $\mathbb{Z}_2[X]$.

$f^\sigma=X^5+X^4+X^3+X^2$

$f^\sigma=X^5+X^4+X^3+X^2+1$

$f^\sigma=X^5+X^4+X^2+1$

jest nierozkładalny w $\mathbb{Z}_2[X]$.

Oczywiście nie dzieli się on przez żaden wielomian stopnia pierwszego, ponieważ $f^\sigma(0)\ne 0\ne f^\sigma(1)$. Zatem wystarczy pokazać, że nie dzieli się przez wielomian $X^2+X+1$. Dzieląc zatem oba wielomiany otrzymujemy resztę $X$, a zatem $f^\sigma$ jest nierozkładalny.