Kryteria Nierozkładalności Wielomianów

Przykład

Czy wielomian $f(X)=X^5+X^3+X+1$ jest rozkładalny w $\mathbb{Z}_2[X]$. Jeśli tak, to znaleźć jego rozkład na czynniki nierozkładalne.

Odpowiedź:

Zauważmy, że w tym przypadku badanie rozkładalności tego wielomianu jest znacznie prostsze, ponieważ w jego rozkładzie musi pojawiać się co najmniej jeden wielomian stopnia co najwyżej $2$. Zatem wystarczy sprawdzić, czy wielomian $f$ dzieli się bez reszty przez którykolwiek z wielomianów $X,X+1,X^2,X^2+X+1,X^2+1,X^2+X$. Oczywiście można ograniczyć się do wyboru jedynie wielomianów $X,X+1,X^2+X+1$, ponieważ jeżeli jakiś wielomian dzieli się przez $X^2$ lub $X^2+X$, to dzieli się również przez $X$, oraz jeżeli dzieli się przez $X^2+1$, to dzieli się również przez $X+1$.

Ponieważ $1$ jest pierwiastkiem wielomianu $f$, to $X+1|f$, czyli \[ X^5+X^3+X+1 = (X+1)(X^4+X^3+1). \]

Następnie, rozumując analogicznie, widzimy, że wielomian $X^4+X^3+1$ jest nierozkładalny, ponieważ nie jest podzielny przez żaden z wielomianów $X,X+1,X^2+X+1$.