Kryteria Nierozkładalności Wielomianów

Przykład

Czy wielomian $f(X)=X^5-3X^3+2X^2+3X+6$ jest rozkładalny w $\mathbb{Q}[X]$. Jeśli tak, to znaleźć jego rozkład na czynniki nierozkładalne.

Odpowiedź:

Na początku zauważmy, że wielomian ten może się jedynie rozkładać na iloczyn wielomianów stopnia: $1,1,1,1,1$ lub $1,1,1,2$ lub $1,1,3$ lub $1,4$ lub $2,3$ lub $1,2,2$. Łatwo jednak sprawdzić, czy wielomian w swoim rozkładzie posiada wielomian stopnia pierwszego. Mianowicie wówczas musiałby dzielić się przez wielomian postaci $X-a\in \mathbb{Q}[X]$, a zatem posiadać pierwiastek $a$. Wiemy jednak, że jedynymi pierwiastkami wymiernymi tego wielomianu mogą być ułamki $p/q$, gdzie $p|a_0$ oraz $q|a_n$. Zatem, w naszym przypadku, wystarczy sprawdzić, czy liczby

$\pm 1,\pm 2,\pm 3, \pm 6$
$ 1, 2, 3, 6$
$ -1, -2, -3, -6$

Zatem, w naszym przypadku, wystarczy sprawdzić, czy liczby $\pm 1,\pm 2,\pm 3, \pm 6$ są pierwiastkami wielomianu $f$.

Czy któraś z powyższych liczb jest pierwiastkiem powyższego wielomianu


$-1$$1$
$-2$$2$
$-3$$3$
$-2$$2$
Nie ma pierwiastków

Ponieważ $-2$ jest pierwiastkiem dlatego powyższy wielomian jest


rozkładalny

nierozkładany

Wiemy zatem, że $f(X) = (X+2)(X^4-2X^3+X^2+3)$.

Zbadajmy teraz, czy wielomian $g(X)=X^4-2X^3+X^2+3$ jest nierozkładalny. Łatwo zauważyć, że nie jest on podzielny przez żaden wielomian stopnia pierwszego, ponieważ żadna z liczb $\pm 1, \pm 3$ nie jest jego pierwiastkiem. Zatem może jedynie rozkładać się na iloczyn dwóch wielomianów stopnia drugiego. Załóżmy zatem, że \[ g(X)=X^4-2X^3+X^2+3 = (c_1X^2+b_1X+a_1)(c_2X^2+b_2X+a_2)=\]\[=h_1(X)h_2(X),\qquad a_1,a_2,b_1,b_2,c_1,c_2\in \mathbb{Q}. \]

Ponieważ współczynniki wielomianów należą do ciała, to wystarczy ograniczyć się do sytuacji, gdy $c_1=c_2=1$, ponieważ w przeciwnym przypadku wyciągając $c_1$ przed wielomian $h_1$ i mnożąc wielomian $h_1$ przez $c_1$ doprowadzimy do sytuacji, gdzie współczynniki przy najwyżej potędze w $h_1$ i $h_2$ będę wynosiły $1$.

Otrzymujemy zatem \[ g(X)=X^4-2X^3+X^2+3 = (X^2+b_1X+a_1)(X^2+b_2X+a_2),\qquad a_1,a_2,b_1,b_2\in \mathbb{Q}. \]

Wymnóżmy zatem wielomiany po prawej stronie. Otrzymamy wówczas \[ X^4-2X^3+X^2+3 = X^4+(b_1+b_2)X^3+(a_1+a_2+b_1b_2)X^2+(a_1b_2+a_2b_1)X+a_1a_2. \] Zatem musimy znaleźć parametry $a_1,a_2,b_1,b_2$ takie, że $a_1a_2=3$, $a_1b_2+a_2b_1=0$, $a_1+a_2+b_1b_2=1$ oraz $b_1+b_2=-2$.

W celu uproszczenia rachunków, spróbujmy w pierwszej kolejności znaleźć całkowite rozwiązania tego układu równań. Wówczas równanie $a_1a_2=3$ ma następujące możliwe rozwiązania: $a_1=1$, $a_2=3$ lub $a_1=-1$, $a_2=-3$ (na mocy symetrii założeń nie musimy rozważać przypadku, gdy $a_2=\pm 1$, $a_1=\pm 3$).

Załóżmy w pierwszej kolejności, że $a_1=1$ i $a_2=3$. Wówczas $b_2+3b_1=0$, $b_1b_2=-3$ i $b_1+b_2=-2$. Wówczas łatwo widać, że $b_1=1$ oraz $b_2=-3$. Zatem \[ X^5-3X^3+2X^2+3X+6 = (X+2)(X^2+X+1)(X^2-3X+3). \]

Łatwo zauważyć, że wielomiany występujące w tym rozkładzie są nierozkładalne, ponieważ nie posiadają pierwiastków.

Podpowiedź

Pierwiastkami wielomianu mogą być wszystkie dzielniki wyrazu wolnego, te dodatnie i ujemne.

Podpowiedź

Podstaw za $X$ każdą z liczb i sprawdź czy w wyniku dostaniemy zero.

Podpowiedź

Jeżeli wielomian zeruje się dla $X=-2$ to znaczy że możemy go podzielić przez $X-2$ zatem taki wielomian jest …