Konstrukcja ciał skończonych

Przykład

Wypisać wszystkie warstwy pierścienia ilorazowego $\mathbb{Z}_2[X]~\big /~ (X^3+X+1)$, gdzie $(X^3+X+1)=\{f(X)(X^3+X+1):f\in\mathbb{Z}_2[X]\}$ oznacza ideał główny generowany przez wielomian $X^3+X+1$. Czy powstały pierścień ilorazowy jest ciałem?

Odpowiedź:

W pierwszej kolejności zastanówmy się, kiedy dwa wielomiany $f,g\in\mathbb{Z}_2[X]$ będą tworzyły równe warstwy. Przypomnijmy, że w ogólności warstwy $a+I$ i $b+I$ są równe wtedy i tylko wtedy, gdy $a-b\in I$. Zatem w naszym przypadku

$f(X)+(X^3+X+1) =$ $g(X)+(X^3+X+1)$ $\Longleftrightarrow$ $f(X)-g(X)\in (X^3+X+1)$ $\Longleftrightarrow$ $X^3+X+1|f(X)-g(X)$

Pierwszym wnioskiem płynącym z tej obserwacji jest fakt, że dwa wielomiany $f,g$ tworzą tę samą warstwę wtedy i tylko wtedy, gdy dają tę samą resztę przy dzieleniu przez wielomian $X^3+X+1$. W związku z tym, aby wypisać wszystkie różne warstwy należy dobierać kolejno wielomiany dające różne reszty przy dzieleniu przez $X^3+X+1$. Zauważmy jednak, że każdy wielomian o stopniu mniejszym niż $3$ daje inną resztę. Co więcej biorąc wszystkie wielomiany o stopniu mniejszym niż $3$ otrzymamy wszystkie możliwe reszty z dzielenia przez $X^3+X+1$. Zatem wszystkie możliwe warstwy to:

$0+(X^3+X+1) =$ $(X^3+X+1)=$ $\{f(X)(X^3+X+1):f\in\mathbb{Z}_2[X]\}$;


$1+(X^3+X+1) =$ $(X^3+X+1)=$ $\{f(X)(X^3+X+1)+1:f\in\mathbb{Z}_2[X]\};$


$X+(X^3+X+1) =$ $(X^3+X+1)=$ $\{f(X)(X^3+X+1)+X:f\in\mathbb{Z}_2[X]\};$


$X+1+(X^3+X+1) =$ $(X^3+X+1)=$ $\{f(X)(X^3+X+1)+X+1:f\in\mathbb{Z}_2[X]\};$


$X^2+(X^3+X+1) =$ $(X^3+X+1)=$ $\{f(X)(X^3+X+1)+X+1:f\in\mathbb{Z}_2[X]\};$


$X^2+1+(X^3+X+1) =$ $(X^3+X+1)=$ $\{f(X)(X^3+X+1)+X+1:f\in\mathbb{Z}_2[X]\};$


$X^2+X+(X^3+X+1) =$ $(X^3+X+1)=$ $\{f(X)(X^3+X+1)+X+1:f\in\mathbb{Z}_2[X]\};$


$X^2+X+1+(X^3+X+1) =$ $(X^3+X+1)=$ $\{f(X)(X^3+X+1)+X+1:f\in\mathbb{Z}_2[X]\}$.

Utwórzmy teraz tabelkę działania w pierścieniu ilorazowym $\mathbb{Z}_2[X]~\big /~ (X^3+X+1)$. W ramach zobrazowania w jaki sposób przebiega dodawanie i mnożenie elementów w tym pierścieniu ilorazowym wykonajmy ze szczegółami następujące operacje:

$(X^2+X+(X^3+X+1))$ $+$ $(X^2+X+1+(X^3+X+1))$ $=$ $(X^2+X+X^2+X+1)$ $+$ $(X^3+X+1)$ $=$ $1+(X^3+X+1)$


$(X^2+X+(X^3+X+1))$ $\cdot$ $(X^2+X+1+(X^3+X+1))$ $=$ $(X^2+X)(X^2+X+1)$ $+$ $(X^3+X+1)$ $=$ $X^4+X+(X^3+X+1)$ $=$ $X^2+(X^3+X+1)$

gdzie ostatnia równość zachodzi, ponieważ $X^4+X = (X^3+X+1)X+X^2$, czyli reszta z dzielenia wielomianu $X^4+X$ przez $X^3+X+1$ wynosi $X^2$.

Wykonując dalsze obliczenia łatwo sprawdzić, że tabelką dla dodawania i mnożenia wygląda następująco




Jak widać w tabeli mnożenia każdy element jest odwracalny w tym pierścieniu, a zatem powstały pierścień ilorazowy jest $8$-elementowym ciałem charakterystyki $2$.

Dobrze

Źle

Zauważ, że 2 dzieli wyraz przy najwyższej potędze, a 6 nie jest liczbą pierwszą.