Grupa symetryczna

Przykład

Wyznacz ciąg kompozycyjny dla grupy $\mathbb{Z}_{60}$.

Odpowiedź:

Dobrym sposobem szukania ciągu kompozycyjnego jest wybranie dowolnego ciągu normalnego a następnie zagęszczanie go, aż do momentu, gdy wszystkie faktory będą grupami prostymi, czyli w przypadku grup abelowych grupami cyklicznymi rzędu pierwszego.

Po pierwsze zauważmy, że jeżeli grupa $G$ jest cykliczna, to grupa ilorazowa $G~\big /~ H$ jest również cykliczna jako obraz homomorficzny odwzorowanie kanonicznego $\kappa : G\to G~\big /~ H$. W związku z tym, mamy pewność, że faktory jakiegokolwiek ciągu normalnego grupy $\mathbb{Z}_{60}$ są cykliczne. Zatem wystarczy jedynie, stosując zagęszczanie, zapewnić, aby miały one rząd pierwszy.

Zacznijmy od ciągu normalnego $\{0\}\subset \mathbb{Z}_{60}$. Ponieważ $\mathbb{Z}_{60}$ jest cykliczna, to wiemy, że dla dowolnego $k$ dzielącego liczbę $60$ istnieje podgrupa $H$ grupy $\mathbb{Z}_{60}$ rzędu $k$. Weźmy dla przykładu $k=10$. Wówczas szukaną podgrupą jest zbiór $H_{10}:=\{0,6,12,18,24,30,36,42,48,54\}$. Stąd otrzymujemy ciąg normalny \[ \{0\}\subset H_{10}\subset \mathbb{Z}_{60}, \] którego faktory są grupami cyklicznymi rzędu odpowiednio $10$ i $6$. Zatem należy dokonać kolejnych zagęszczeń.

Weźmy zatem podgrupę $H_5=\{0,12,24,36,48\}$ grupy $H_{10}$ oraz podgrupę $H_{20}=\{0,3,6,\ldots, 54, 57\}$ rzędu $20$ grupy $\mathbb{Z}_{60}$. Wówczas już łatwo zauważyć, że ciąg normalny \[ \{0\}\subset H_5\subset H_{10}\subset H_{20}\subset \mathbb{Z}_{60} \] jest ciągiem kompozycyjnym, ponieważ jego faktory są grupami cyklicznymi o rzędach odpowiednio $5$, $2$, $2$, $3$.

Podpowiedź

Pamiętaj, że każda liczba może się pojawić tylko jeden raz w każdym rzędzie.