Dzielniki ilorazowe grupy permutacji

Przykład

Wyznacz wszystkie dzielniki normalne grupy $S_4$ a następnie wyznacz jej ciąg kompozycyjny.

Odpowiedź:

Zastanówmy się teraz na ile i jakiej długości cykle rozłączne może rozkładać się permutacja zbioru $4$-elementowego. Oczywiście może być permutacją identycznościową, transpozycją, cyklem długości $3$, cyklem długości $4$ lub złożeniem dwóch rozłącznych transpozycji. Oznaczmy przez $K_1$ zbiór składający się z permutacji identycznościowej, $K_j$ zbiór wszystkich cykli długości $i$ w $S_4$ oraz $K_{2,2}$ zbiór permutacji rozkładających się na dwa cykle rozłączne. Wówczas liczebności tych zbiorów to:

  • $K_1=1$
  • $K_2=$ 
  • $K_3=$ 
  • $K_4=$ 
  • $K_{22}=$ 

Zatem z powyższych rozważań każdy dzielnik normalny grupy $S_4$ jest sumą mnogościową zbiorów $K_1,K_2,K_3,K_4,K_{2,2}$. Wiemy jednak, że skoro rząd grupy $S_4$ wynosi 24, to rzędy jej dzielników normalnych mogą wynosić jedynie (podaj liczby w porządku rosnącym) $1$,, , , , , $24$. Oczywiście $\{id\}$ i $S_4$ są dzielnikami normalnymi. Natomiast jedynymi liczbami spośród dzielników liczby $24$, które dadzą się przedstawić jako suma 1 (bo każda podgrupa zawiera $K_1$) i pewnych liczb spośród $6,8,6,3$, to $4$ i $12$. Stąd tylko dzielniki normalne takich rzędów może posiadać grupa $S_4$.

Oczywiście $12 = 1+8+3$, czyli kandydatem na dzielnik normalny jest zbiór $K_1\cup K_3\cup K_{2,2}$. Łatwo zauważyć, że ten zbiór zwiera wszystkie permutacje parzyste w $S_4$, czyli jest grupą $A_4$, która jak wiemy jest dzielnikiem normalnym grupy $S_4$.

>

Dalej $4 = 1+3$, czyli kolejnym kandydatem jest zbiór $V_4:=K_1\cup K_{2,2} = \{id, (1,2)\circ(3,4), (1,3)\circ(2,4), (1,4)\circ (2,3)\}$. Ponieważ wiemy, że zbiór ten zawiera wraz z daną permutacją jej wszystkie permutacje podobne, to wystarczy przekonać się, że jest on podgrupa grupy $S_4$. W tym celu utwórzmy tabelkę działania w tej grupie.


$\circ$id$(1,2)(3,4)$$(1,3)(2,4)$$(1,4)(2,3)$
idid$(1,2)(3,4)$$(1,3)(2,4)$$(1,4)(2,3)$
$(1,2)(3,4)$$(1,2)(3,4)$id$(1,4)(2,3)$$(1,3)(2,4)$
$(1,3)(2,4)$$(1,3)(2,4)$$(1,4)(2,3)$id$(1,2)(3,4)$
$(1,4)(2,3)$$(1,4)(2,3)$$(1,3)(2,4)$$(1,2)(3,4)$id

Zatem jedynymi dzielnikami normalnymi grupy $S_4$ są $\{id\}$, $V_4$, $A_4$ i $S_4$. Zatem, aby zbudować ciąg kompozycyjny rozważmy ciąg normalny \[ \{id\}\subset V_4\subset A_4\subset S_4 \] Oczywiście $V_4$ jest dzielnikiem normalnym grupy $A_4$, bo jest dzielnikiem normalnym $S_4$. Co więcej, faktory $S_4~\big /~ A_4$ i $A_4~\big /~ V_4$ są rzędu 2 i 3, więc są grupami prostymi. Wystarczy sprawdzić czy $V_4$ posiada jakieś nietrywialne dzielniki normalne. Łatwo zauważyć, że byłyby one rzędu 2. Ponieważ każdy element w $V_4$ jest odwrotny do samego siebie, to każda z grup postaci $\{id, (1,2)\circ(3,4)\}$, $\{id, (1,3)\circ(2,4)\}$, $\{id, (1,4)\circ(2,3)\}$ jest dzielnikiem normalnym tej grupy.

Zatem otrzymujemy ciąg normalny \[ \{id\}\subset \{id,(1,2)\circ(3,4)\}\subset V_4\subset A_4\subset S_4, \] który jest kompozycyjnym, bo każdy z faktorów jest rzędu 2 lub 3, a jak wiemy, co do izomorfizmu, jest tylko jedna grupa takiego rzędu ($\mathbb{Z}_2$ i $\mathbb{Z}_3$) i jest ona grupą prostą.

Podpowiedź

$K_2$ - aby zbudować cykl długości 2 należy wybrać dwie liczby spośród 4, co można zrobić na $\frac{4!}{2!2!}$ sposoby


$K_3$ - aby zbudować cykl długości 3 należy wybrać trzy liczby spośród 4, co można zrobić na $\frac{4!}{3!1!}=4$ sposoby, a następnie wynik pomnożyć przez $2$, bo z liczb $a_1,a_2,a_3$ można zbudować 2 różne cykle postaci $(a_1,a_2,s_3)$ i $(a_1,a_3,a_2)$.


$K_4$ - zastanów się na ile sposobów może przejść jedynka, a następnie na ile sposobów jej następnik. Czy jeżeli wiemy, że $1\rightarrow a$ oraz $a\rightarrow b\ne 1,a$, to cykl długości 4 jest już jednoznacznie określony?.


$K_{2,2}$ - łatwo zauważyć, że jedynymi takimi rozkładami są $(1,2)\circ(3,4)$, $(1,3)\circ(2,4)$ oraz $(1,4)\circ (2,3)$.

Podpowiedź

Wpisz w kolejności rosnącej wszystkie dzielniki liczby $24$.