Dzielniki ilorazowe grupy permutacji

Przykład

Niech $A_n$ oznacza zbiór składający się ze wszystkich permutacji parzystych. Czy $S_2$, $S_3$ są grupami rozwiązalnymi.

Odpowiedź:

Zauważmy, że grupy $A_1$ oraz $A_2$ są zbiorami , czyli ciąg $\{id\}\subset S_n$ dla $n\leq 2$ jest ciągiem kompozycyjnym o abelowych faktorach.

Grupa $A_3 = \{id,(1,2,3),(1,3,2)\}$ jest cykliczna ponieważ jej generatorem jest . Ponieważ rząd grupy $A_3$ wynosi $3$ dlatego jest to grupą oraz abelową.

Zatem ciąg $\{id\}\subset A_3\subset S_3$ jest ciągiem kompozycyjnym, ponieważ $A_3~\big/~\{id\}\cong$ , czyli pierwszy faktor jest grupą prostą abelową oraz faktor $S_3~\big /~ A_3$ posiada  elementów i jest izomorficzny z $\{-1,1\}$, czyli jest grupą cykliczną rzędu pierwszego, a zatem grupą prostą i abelową.

Reasumując grupy $S_1,S_2,S_3$ są grupami

Podpowiedź

Pamiętaj, że permutację identycznościową można zapisać w następujący sposób $id=(1,2)(2,1)$.

Podpowiedź

Pamiętaj, że identyczność nie może być generatorem grupy, a dla drugiego pytania sprawdź definicje :D

Podpowiedź

Wydzielając dowolną grupę przez podgrupę składającą się z elementu neutralnego zawsze dostajemy tą samą grupę, dla drugiego pola wyboru pamiętaj, że w grupie mamy tylko cykle parzyste i nieparzyste.

Podpowiedź

Definicje ... definicje.