Dzielniki ilorazowe grupy permutacji

Przykład

Czy zbiór $A_n$ składających się ze wszystkich permutacji parzystych jest dzielnikiem normalnym grupy $S_n$, gdzie $n\geq 2$.

Odpowiedź:

Sprawdźmy najpierw, że zbiór ten jest podgrupą grupy $S_n$. Oczywiście liczba transpozycji w rozkładzie permutacji identycznościowej jest czyli element neutralny składania należy do $A_n$.

Po drugie wiemy, że złożenie dwóch permutacji parzystych daje permutację , czyli składanie jest wewnętrzne w $A_n$.

Po trzecie permutacja odwrotna do permutacji parzystej jest , czyli $A_n$ jest zamknięte również, ze względu na branie odwrotności. Stąd wynika, że $A_n$ jest podgrupą $S_n$.

Przypomnijmy teraz, że funkcja znaku permutacji spełnia warunek $\operatorname{sgn}(\sigma\circ\tau) =$ , czyli jest homomorfizmem grup działającym z $S_n$ do grupy $\{-1,1\}$ z mnożeniem. Wówczas zauważmy, że $A_n =$, zatem jest on dzielnikiem normalnym grupy $S_n$.

Co więcej zauważmy, że z twierdzenia Lagrange'a skoro rząd grupy $\{-1,1\}$ wynosi $2$, a rząd $S_n$ wynosi $n!$, to permutacji parzystych w grupie $S_n$ jest

Podpowiedź

Pamiętaj, że permutację identycznościową można zapisać w następujący sposób $id=(1,2)(2,1)$.

Podpowiedź

Zapoznaj się ponownie z materiałami z grup symetrycznych.

Podpowiedź

Zauważ, że \[((a_1,a_k)\circ\ldots\circ (a_1,a_2))^{-1} = (a_1,a_2,\ldots,a_k)^{-1} = (a_k,\ldots,a_2,a_1) = (a_k,a_1)\circ\ldots\circ (a_k,a_{k-1})\]

Podpowiedź

Pamiętaj, że składanie permutacji oznaczamy kropką natomiast permutacje parzyste przechodzą na 1.

Podpowiedź

W grupie $S_n$ mamy dokładnie tyle samo permutacji parzystych i nieparzystych.